三角函数和角与差角公式的图形解释

我们知道通过几何学方法,可以对三角函数中的“和角公式”和“余弦定律”进行证明。此次我们换一种非常好用的图形证明法,简直是一图胜千言,可以帮助我们顺利推导出正弦、余弦和正切的和角、差角公式,而且让你一辈子都忘不了!

让我们从正弦和余弦的和角公式开始吧!

我一直坚持:优美的图形胜过任何一个多余的文字!废话不说,先看下图:

三角函数和角与差角公式的图形解释

矩形的长边:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

矩形的短边:

cos(α+β)=cosαsinβ-sinαsinβ

有没有觉得很美?我想,上图的证明多说一句话都是废话。再看正弦和余弦的差角公式,看下图:

三角函数和角与差角公式的图形解释

矩形的长边:

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

矩形的短边:

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

继续看正切的和角公式:

三角函数和角与差角公式的图形解释

显而易见:

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

再看正切的差角公式:

三角函数和角与差角公式的图形解释

显而易见:

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

同一种方法,同一种图形,把正弦、余弦和正切的和角、差角公式都清楚无比地证明出来。可谓是“一图胜千言”、“一图解千愁”啊!

在我的学生时代,我上课最喜欢做的事情就是推导各种公式,这让我一辈子都忘不了这些看起来繁杂无比的数学公式。我有一个关于学习的小诀窍,那就是“简单看世界、深入想问题”!同学们,你们也可以的,加油吧!

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