排列组合
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排列组合计算问题中的卡塔兰数
在排列组合计算问题中,有一组有趣的数列,叫做“卡塔兰数(Catalan Numbers)”。卡特兰数的前10项分别为:1、1、2、5、14、42、132、429、1430、4862…
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高考数学隔板法和分组问题的区别
近几年高考中关于排列组合题目的难度逐年降低,且越发偏重于实际应用,类似于偏重于理论的涂色问题已经不会出现在高考范围之内了,因此学习排列组合只需要掌握四种方法即可,即相邻问题的捆绑法…
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费马小定理从组合数学角度来理解
在数论中,有两个以法国数学家皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)命名的定理,一个叫做费马小定理(Fermat’s little theorem),另一个…
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如何从直观上理解两元素子集的数量?
写过很多关于组合数学的文章,今天讲讲如何从直观上来理解两元素子集的数量问题。 废话不多说,直接上题目:在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中,有多少个包含两个元素的子…
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爬楼梯带给我们的数学思考
在2010年的AMC 8比赛中,最后一题(第25题)是:Every day atschool, Jo climbs a flight of 6 stairs. Jo can tak…
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组合计数中的切水果数学问题
很多人都在平板电脑或者手机上玩过“切水果”的游戏吧!在数学中,有不少与切西瓜或者切蛋糕相关的题目。在前面的文章里,我曾写过“如何数圆与圆之间的交点数”和“如何切割圆形得到的块数最多…
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四个不同的圆,最多会产生几个交点?
今天讲到一道美国数学竞赛题,原题很简单:The maximum number of intersection points of four different circles is…
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对应思想与组合数学的巧妙应用
有很多个点组成的格子图,选取4个点可以画出一个长方形(只有水平线和垂直线可以作为长方形的边)。请问这些点一共可以画出多少个长方形(包括正方形)? 后来陆续收到了很多读者朋友们的答案…
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用组合计数原理证明威尔逊定理
由于数论知识在我们普通的学校应试教育中属于空白领域,因此哪怕读者朋友学过高等数学知识,看这部分内容依旧会很费劲,甚至一脸茫然。 所以,各位读者朋友们,请大家对自己的孩子们多点耐心,…
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组合计数原理入门,加法原理与乘法原理
古希腊数学家毕达哥拉斯曾说:万物皆数。在我们的日常生活中,大到宇宙天体,小到物质微粒,无一不与数字有关。同时,我们每天还会遇到各种各样的“事件”(events)。在不同的情况或条件…
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旗杆上挂旗帜,一道美国数学赛试题的多种解法
旗杆上挂旗帜的方法,这道题源自2008年美国数学邀请赛(AIME),原题如下: There are two distinguishable flagpoles, and there…
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抛硬币概率问题,一道竞赛题中的斐波那契数列
今天讲解一道美国数学邀请赛(AIME)的题目:一枚均匀的硬币抛掷10次,从不接连出现正面的概率为i / j(既约分数),求i+j。(原题:A fair coin is to be …
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鸽巢原理是什么?鸽巢原理在数学中的巧妙应用
很多时候,常识里往往蕴含着大道理。 在数学中,有一些看上去由于过于显然,以致显得不是那么重要的观点,却因为内有乾坤而受到了很多数学家的重视,我们所熟知的“鸽巢原理”(Pigeonh…
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巧用隔板法解答组合数学问题
在解决组合计数问题中,我们经常会用到一种技巧,叫做“Sticks and Stones”,也有叫做“Stars and Bars”的,美国数学家威廉·费勒(William Fell…
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组合计数隔板法在数学解题中的巧妙应用
组合计数中一个常用的技巧便是“隔板法”,“隔板法”主要针对的是那些可以重复选取某些对象的情况,本讲将通过三道例题,对“隔板法”作进一步的应用拓展。 例1:小豆包和小樱桃姐妹俩跟着爸…
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棋盘上的组合数学问题
题目:比阿特丽克斯(Beatrix)将在6×6的棋盘上放置6个“车”,其中行和列从1标记到6。规定:“车”的位置满足任意两个车不能放在同一行或同一列。正方形的值(value)定义为…